​微积分里面的积分和微分的区别与联系

微积分里面的积分和微分的区别与联系

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。

微分：一元微分、多元微分

一元微分的定义： 设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = Adx。

多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。ΔZ=A*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)为函数Z在点（x、y)处的全增量，（其中A、B不依赖于ΔX和ΔY，而只与x、y有关，ρ=[（x∧2+y∧2)]∧(1\2),A*ΔX+B*ΔY即是Z在点的全微分。

总的来说，微分学的核心思想便是以直代曲，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。

积分：定积分、不定积分。

不定积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

若F（x）是f(x)的原函数,则有 ∫f(x)dx=F（x）+C，C为任意常数,称为不定积分常数.

对于定积分,它的概念来源不同于不定积分.定积分檎是从极限方面来.是从以“不变”代“变”,以“直”代“曲”求某个变化过程中无限多个微小量的和,最后取极限得到的.所以不定积分与定积分不是仅差一个常数的问题,即使是在计算上仅差一常数,而且运算法则也基本相同.它们之间建立关系是通过“牛顿-莱布尼兹公式”.公式是 非曲直 ∫f(x)dx=F（b）-F（a），它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。